Qué (quién) es Линейный функционал - definición

Лине́йная форма, лине́йный функционал (также используются термины 1-форма, ковектор, ковариантный вектор) — линейное отображение, действующее из векторного пространства ${\displaystyle L}$ над полем ${\displaystyle K}$ в поле ${\displaystyle K}$. Условие линейности заключается в выполнении следующих двух свойств:

${\displaystyle \Phi (f+g)=\Phi (f)+\Phi (g),}$

${\displaystyle \Phi (\alpha f)=\alpha \,\Phi (f)}$

для любых двух векторов ${\displaystyle f,g\in L}$ и любого ${\displaystyle \alpha \in K}$. Таким образом, линейная форма (линейный функционал) является частным случаем понятия линейного оператора, действующего из одного векторного пространства в другое векторное пространство: ${\displaystyle L_{K}\to M_{K}}$, рассматриваемых над одним и тем же полем ${\displaystyle K}$. Именно, в случае линейной формы (линейного функционала) векторное пространство ${\displaystyle M_{K}=K}$.

Термин линейная форма обычно используют в алгебре и алгебраической геометрии, чаще всего говоря при этом о конечномерных векторных пространствах. С алгебраической точки зрения линейная форма представляет собой частный случай более общего понятия k-формы при k=1.

Термин линейный функционал распространён в функциональном анализе, причем чаще всего речь идет о бесконечномерных векторных пространствах, элементами которых являются функции того или иного класса, и термин функционал подчеркивает то, что рассматривается функция (отображение), аргументом которой являются функции. В качестве поля ${\displaystyle K}$ чаще всего используются поля ${\displaystyle \mathbb {R} }$ или ${\displaystyle \mathbb {C} }$.